Other Meetings

Materials:

Теорема Бернштейна-Кушниренко и кольцо условий комплексного тора

Аскольд Хованский (Университет Торонто)
Thursday, 07 December 2017
15:40
401

Пусть $\Gamma_1,\dots,\Gamma_n$ – алгебраические гиперповерхности в комплексном торе $(\Bbb C^*)^ n$, заданные достаточно общими уравнениями с многогранниками Ньютона $\Delta_1,\dots,\Delta_n$. Теорема Бернштейна-Кушниренко (1975г.) вычисляет число точек пересечения $\Gamma_1\cap\dots\cap\Gamma_n$ по многогранникам Ньютона  $\Delta_1,\dots,\Delta_n$. В теореме можно не предполагать, что уравнения достаточно общие, но вычислять число пересечений не исходных, а сдвинутых гиперповерхностей $g_1\Gamma_1,\dots,g_n\Gamma_n$, где $g_i$ – достаточно общие элементы группы $(\Bbb C^*)^n$ и $g_i\Gamma_i$ – множества точек вида $g_ix_i$,  $x_i\in \Gamma_i$.

 

Пусть $X_1,\dots, X_k$ – алгебраические подмногообразия в $(\Bbb C^*)^n$, сумма размерностей которых равна $n$. Для почти всех  $g_1,\dots,g_k\in (\Bbb C^*)^n$ число точек пересечения многообразий  $g_1X_1,\dots,g_kX_k$ конечно и не зависит от выбора $g_1,\dots,g_k$. Это утверждение – одна из теорем теории колец условий, построенной де Кончини и Прочезе в 1980-х годах.

 

В докладе я объясню, как вычислять число точек пересечения многообразий $g_1X_1,\dots,g_kX_k$, расскажу, что такое тропикализация многообразия $X_i$ (заменяющая многогранник Ньютона $\Delta_i$ гиперповерхности $\Gamma_i$), и намечу описание кольца условий для $(\Bbb C^*)^n$. Я не предполагаю никаких специальных знаний и постараюсь быть понятным.