Course of lectures "Modern problems in spectral geometry"

Organizer: Dr. Alexei Penskoi (MSU, Center Poncelet)
Monday, 27 March 2017 to Friday, 21 April 2017 Rooms 304, 310 Moscow center for continuous mathematical education

Locations:

Mondays (March 27, April 3, 10, 17) - room 304 
Wednesdays (March 29, April 5, 12, 19) - room 310 
Fridays (March 31, April 7, 14, 21)  - room 310

Tentative program (in Russian)

I. Иосиф Полтерович (27, 29, 31 марта и 3 апреля)

Спектральная геометрия задачи Стеклова

  1. Постановка задачи Стеклова. Основные свойства собственных значений и собственных функций. Изопериметрические оценки для собственных значений.
  2. Асимптотические свойства собственных значений задачи Стеклова на многообразиях с границей. Спектральные инварианты. Спектральная жёсткость диска и трехмерного шара. Примеры изоспектральных многообразий.
  3. Задача Стеклова на областях с особенностями. Влияние углов на спектральные асимптотики. Приложения к гидродинамике. Асимптотика собственных значений задачи о колебании жидкости в двумерии.

II. Герасим Кокарев (5 и 7 апреля)

  1. Минимальные подмногообразия и задачи на собственные значения
    1. ​​Предварительные сведения об операторе Лапласа-Бельтрами на многообразиях.
    2. Минимальные подмногообразия в пространствах постоянной кривизны. Дифференциальные уравнения, описывающие минимальные погружения.
    3. Приложения к геометрии минимальных подмногообразий.
    4. Связь с задачей об оптимизации собственных значений.
  2. Неравенства на собственные значения на минимальных подмногообразиях
    1. Конформный объем и первое собственное значение. Оценки на высшие собственные числа.
    2. Минимальные подмногообразия в гиперболических пространствах, асимптотический объём и оценки на собственные числа.
    3. Минимальные подмногообразия в евклидовых пространствах. Конечная полная кривизна, концы минимальных подмногообразий и собственные значения оператора Лапласа-Бельтрами. Обобщенная гипотеза Пойя.

III. Вадим  Калошин (10, 12 и 14 апреля)

  1. Можно ли услышать форму барабана? Спектр оператора Лапласа и спектр длин, волновой след и их отношения.
  2. Бильярды в выпуклых плоских областях, каустики, бильярдные отображения, множества Обри-Мэзера.
  3. Подковы и хаос для бильярдных отображений.
  4. Интегрируемые бильярдные отображения, теорема Понселе.
  5. Возмущение эллипсов и рациональная интегрируемость.
  6. Спектральная жесткость для плоских бильярдов.

IV. Алексей Пенской (17, 19 и 21 апреля)

  1. Оценки на кратности собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами и экстремальные метрики.
  2. Геометрическая оптимизация собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами на сфере и проективной плоскости.

Организатор: Dr. Alexey Penskoi (MSU)http://ium.mccme.ru/s17/s17-KKPP.html

Контакты: secretary@poncelet.ru,  +7 (499) 241 37 93