Other Meetings

Materials:

Теорема о Декомпозиции и Разделении и ее приложения

Friday, 13 January 2017
15:40
401 Moscow center for continuous mathematical education

Пусть S конечное множество, P стохастическая матрица и $U = ((Z_n)$ семейство конечных Марковских цепей (МЦ) задаваемых S,P и всеми возможными начальными распределениями. Поведение этого семейства – это классические результаты Теории Вероятностей, полученные в 30-х годах прошлого века А. Н. Колмогоровым и В. Деблиным.

Если стохастическую матрицу P заменить на последовательность стохастических матриц $(P_n)$ и переходы в момент n задавать с помощью матрицы $P_n$, то U превращается в семейство неоднородных МЦ. Возможно ли что-либо сказать о поведении этого семейства если нет никаких предположений о последовательности $(P_n)$ ? В алгебраических терминах этот вопрос эквивалентен такому. Не зная ничего о последовательности $(P_n)$, можно ли что нибудь сказать о пределе $\prod_{i=k}^{n}P_i$ когда n стремится к бесконечности ?

Как ни странно, но ответ на этот вопрос – да, сказать можно. Это поведение описывается Теоремой о Декомпозиции и Разделении (ДР). Она была начата маленькой заметкой A. Н. Koлмогорова (1936), а потом формулирована и доказана в серии статей D. Blackwell (1945), H. Cohn (1971, 1989), (Десомпозиция) and I. Sonin (1987, ..., 2008), Разделение).

Недавно эта теорема нашла применение в междисциплинарной области изучаюшей консенсусные алгоритмы. Консенсусные алгоритмы это алгоритмы ведущие к консенсусу. Наиболее изученными из них являются линейные (усредняюшие), задаваемые стохастическими матрицами. Это приводит к изучению неоднородных МЦ в обратном времени.

ДР теорема является теоремой существования и она оставляет много вопросов открытыми. Повидимому, она допускает обобщение в других разделах математики, за пределами Теории Вероятностей.